[部分原创]关于原反补移要点的总结(一)

关于原反补移要点的总结

“原反补移”正负数转换
原码:只符号位取反
反码:连同符号位,所有位全部取反
补码:连同符号位,所有位全部取反后加一(扫描法)
移码:连同符号位,所有位全部取反后加一(扫描法)

原码正数转换到:
反码:相同(除0)
补码:相同(除0)
移码:只符号位取反

原码负数转换到:
反码:除符号位,其他位全部取反
补码:除符号位,其他位全部取反后加一
移码:连同符号位,所有位全部取反后加一(扫描法)
负数原码前,如果用8位表示,前面剩余位为1还是0?还是只是最高位为1?
字长16位
5
原码 00000000 00000101
补码 00000000 00000101
-5
原码 00000000 00000101
补码 11111111 11111011
十进制的–128用二进制如何表示(写出其原码,反码和补码)?
原码0000 0000 1000 0000
反码 1111 1111 0111 1111
补码 1111 1111 1000 0000
补码就是原码取反+1
个人感觉这一篇讲的还是比较到位的
关于-128
————–来自百度————–
点评:对特殊的-128进行了说明,很不错,不过也是得慢慢理解。另外可引发对128的思考,其实128是无法用8位表示的,需要扩充了。另说明,-128只有补码,没有原码、反码、移码
-128,绝对值128,有符号数值范围是-127到+127,所以128的二进位是要用2字节内存保存,即16位,所以128的二进制码是(中括号只是表示一个字节)
[00000000][10000000]
以上是+128的原码,同时也是+128的补码
-128就是要+128的原码全部取反再加1:
+128的原码:[00000000][10000000]
取反就得到:[11111111][01111111]
再加1得到了:[11111111][10000000],这就是128的补码
*补码是数据在内存的储存形式
要求-128的原码,只需把+128的原码的最高位(符号位)更改就可:
+128的原码:[00000000][10000000]
-128的原码:[10000000][10000000]
*由原码求补码:除符号位外,其它全取反再加1
*所以,求负数的二进制补码至少有上述两种:
1.取绝对值,求绝对值二进码,全部取反再加一
2.取绝对值,求绝对值二进码,最高位改为1,除符号位外其它取反再加1
当然,如果保存-128的变量是4字节的,按上面方法可得到
-128原码[10000000][00000000][0000000][10000000]
-128补码[11111111][11111111][1111111][10000000]
关于原码、反码、补码
来源:http://hi.baidu.com/lyp092/blog/item/9416573ff2df04ca7d1e7196.html
点评:讲的很细,慢慢看,多理解……

1、
表示一个数值要先说明是用多少bit,例如:
用8bit表示数值时,(-128)没有相对应的原码和反码, (-128)补码 = (1000   0000)
同理(2B=16bit)表示:(-32768)补码=(1000   0000   0000   0000),后面回给出证明,
因为它是不能简单的用取反加一的方法来求反码的。

2、
证明:用(2B=16bit)表示:(-32768)补码=(1000   0000   0000   0000)

(1)32767(正数补码与原码相同)是0111   1111   1111   1111
(2)-1的补码,其原码取反在加一得 1111   1111   1111   1111
(3)0111 1111 1111 1111+1000   0000   0000   0000=1111 1111 1111 1111
(4)(令上式x==1000   0000   0000   0000)即:32767+x=-1
(5)x=-32768

至于用(2B=16bit)表示,取反加一求(-32768)的补码,还望哪个高手指点简单的证明过程。
希望大家以后在被问为什么(-128)补码 = (1000   0000),
(-32768)补码=(1000   0000   0000   0000)不要在说什么取反加一的话,
那样你证明我看看。给出证明,免得人家不明白还以为你在谈什么高深的话题,
结果却是被忽悠了。

3、

下面举例说明求负数的补码的补码

-1的补码是0xFFFF. 它是这样求的:

-1的原码:         1000   0000   0000   0001 ,
数值位按位求反:        0xFFFE==1111 1111 1111 1110,
末位加1:            0xFFFF==1111 1111 1111 1111

现在还按这个补码的求法, 作用在0xFFFF上,
0xFFFF   :           1111 1111 1111 1111
数值位按位求反:        1000   0000   0000   0000
末位加1:            1000 0000 0000 0001,

这样又得到了-1。

就像求负数的绝对值,彼此导来导去都可以。
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补码的计算和引进补码的原因:

数值有正负之分,计算机就用一个数的最高位存放符号(0为正,1为负).
这就是机器数的原码了.假设机器能处理的位数为8.即字长为1byte,
原码能表示数值的范围为(-127~-0 +0~127)共256个.
有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.
但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,
而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits

(1)10 – (1)10= (1)10+ (-1)10 =   (1)10
(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确.

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,
对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应.
下面是反码的减法运算:

(1)10-   (1)10=   (1)10+ (-1)10=   (0)10
(00000001) 反+ (11111110)反 =   (11111111)反 =   ( -0 )   有问题.

(1)10 –   (2)10 =   (1)10 + (-2)10 =  (-1)10

(00000001) 反+ (11111101)反 =   (11111110)反 =   ( -1 ) 正确

问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.

于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.
在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为:(-128~0~127)共256个.已知某数的补码,
先求某数的反码,然后在对反码+1,就得到某数的原码.比如:
已知某个数的补码是:10100110
先对10100110求反,得:11011001
再对11011001加1,得: 11011010
那么这个数为-86

原码表示的范围为:-(2^(n-1)-1)~+(2^(n-1)-1),
反码表示的范围为与原码一样.
补码表示的范围为:-2^(n-1)~+(2^(n-1)-1),
其中n为机器字长。

注意:
0的补码是唯一的,为0000,0000     [+0]补=[-0]补=0000,0000     -0的反码为1111,1111

注意!!!原文本处写错

[+0]反=00000000B

[- 0]反=11111111B

8bit表示数值时(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000)

/* 由此可见:负数的最大值没有补码和原码,只有一个二进制表示,该二进制表示与真实值之间没有数学联系,所以知道一个数的补码,利用取反加1的方法求其原码是有限制性的,比如8bit表示数时,(-128)就无法用这种方法来求其原码,因为在补码系统中(-128)的替代了(-0)。*/

/*引申开去:那么计算机中是怎么处理负数的最大值的呢?有待考证*/

补码的加减运算如下:
(1)10-   (1)10=   (1)10 + (-1)10 =  (0)10

(00000001)补 + (11111111)补 =   (00000000)补 = ( 0 ) 正确

(1)10 –   (2)10=   (1)10 + (-2)10 =  (-1)10

(00000001) 补+ (11111110) 补=   (11111111)补 = ( -1 )   正确

所以补码的设计目的是:

⑴使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化计算机的运算规则.
⑵使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计

所有这些转换都是在计算机的最底层进行的,而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都是原码。
看了上面这些大家应该对原码、反码、补码的知识印象更深了吧!!
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下面介绍2的补码记数法

图1显示了两个完整的2的补码系统:一个是基于长度为3的位模式,
另一个是基于长度为4的位模式。
这种系统的构造方法是:从相应长度的0的串(例子中用3位和4位)开始,
用二进制记数的方式一直记数到位模式是由一个0后面跟随尽可达到的数目1组成(列中是011和0111)为止。
这些位模式表示值0,1,3,…。表示负数的位模式是通过从相应长度的1的串开始,然后用二进制倒记数的方式记数,
一直到位模式是由一个1和随后尽可能达到的数目0所组成为止。
这些位模式表示值-1,-2,-3,…。
如果这种倒记数的方法使用时太困难,也可以从表最底部的位模式开始,
向上记数。即从由一个1和随后尽可能达到的个数0组成的位模式开始一直到全
由1组成的位模式为止。

图一

注意:在2的补码系统中,一个位模式最左边的位指示被表示数值的符号。因此,最左边的位被称为符号位。
负值是用符号位为1的位模式来表示,非负值是由符号位为0的位模式来表示。
在2的补码系统中,表示相同幅度的正负值的模式之间存在着简便的关系。从右至左读位模式,直到包括第一个1时,
它们是等同的。继续读位模式,则相互之间就互补了(一个模式的补是由模式中的所有的0变为1、所有的1变为0而得到,
0110和1001是互补的)。例如,图1的4位长模式中表示2和-2的模式都是以10结束,但是表示2的模式是以00开始,
而表示-2的模式以11开始。这个观察引出了表示相同幅度的正值和负值的位模式之间进行相互转换的一个算法,
即对原位模式从右向左逐位拷贝直到有一个1被拷贝为止,然后对原位模式中余下来的部分求补,把求补结果做拷贝,如图2所示。

图2

在熟悉了2的补码系统的这些特性基础上便可引出对2的补码表示形式解码的算法。如果待解码的位模式有为0的符号位,
该位模式就好像是二进制表示形式,只需直接读出它的值。例如,0110表示值6,因为0110是6的二进制表示形式。
如果待解码的位模式符号位为1,则表示是个负值,并且所有余下的部分表示数值的大小。其做法是:从右向左拷贝原位模式,
直到有一个1被拷贝为止,然后对原位模式中余下来的部分求补,最后把所得到的模式当做是二进制表示形式进行解码。
例如,解码模式1010,因为符号位为1,则表示的是个负值。因此,将这个模式转换为0110,此模式代表6,从而得出原来的模式表示-6。
(2) 2的补码记数法中的加法
要加由2的补码记数法表示的数值,除了所有的位模式包括答案在内,都运用了与二进制加法相同的算法。
这就意味着在2的补码系统中进行加法时,最后的进位在答案的左端产生的附加位一定要舍去。于是,加0101和0010得0111;
加0111和1011结果是0010(0111+1011=10010,舍去最左边的1,结果为0010,长度保持4位)。根据这种理解,
考察图3中的三个加法问题。在每一种情况中,已经把问题转换成2的补码记数法(使用4位长的位模式),执行前面描述的加法过程,
并且将结果解码返回到常用的基数10的记数法。

贴图3

采用2的补码记数法的机器需要知道的只是如何去加和求反就够了。例如,减法问题7-5与加法问题7+(-5)是相同的。
因此,如果机器被请求从7(存储为0111)中减5(存储为0101),它首先将5改变为-5(表示为1011),然后执行0111+1011的加法过程取得0010,它表示2。
原码、反码、补码的学习窍门
来源:http://blog.csai.cn/user1/16373/archives/2006/10224.html
点评:感觉讲的都知道,所以……用处不是很大,不过还是挺好的。

首先要明确,定点小数、定点整数均可用这三种编码来表示,在学习这几种编码时有下述两个技巧:

技巧一:

不管是定点小数、定点整数,编码总位数相同的情况下,补码的表数个数总比原码、反码多一个,原因在于,真值0对应的原码、反码有两个编码(对应负零和正零),而真值0的补码只有一个。这就造成了同等条件下,补码的表数范围跟其他两种不一样,例如,当总编码位数(包含符号位)为8时,补码的表数范围为:-27≤X≤27-1,而原码、反码的表数范围为:-27-1≤X≤27-1。因此,此时,27=128有补码,却没有原码、反码。作为一种特例,真值“-1”被纳入定点小数补码的表数范围中,即定点小数补码的表数范围为:-1≤X<1,而定点小数原码、反码的表数范围为::-1<X<1(不包含-1)。

技巧二:

不管是定点小数、定点整数,在求各种编码时,都可遵循以下原则:正数的原码、反码、补码的符号位均为0,原码、反码、补码数值位均为数值本身;负数的原码、反码、补码的符号位均为1,原码的数值位为数值本身,反码的数值位为数值本身(即原码数值位)各位取反,而补码的数值位是在反码数值位的基础加1,若数值最高位有进位则丢弃(不向符号位进位)。

例如,当编码总位数为8时有:

+127的原码、反码、补码都为:0 1111111。

-127的原码、反码、补码依次为:1 1111111、1 0000000、1 0000001。

+0、-0的原码分别为:0 0000000、1 0000000,均对应真值0。

由于“编码总位数为8”的限制,真值-128无法用原码、反码来表示,似乎不能用上述规则来求解补码,但实际上是可行的——只要不管它的最高位即可,操作办法如下:

将128化为二进制为:1 0000000,最高位为1,可以只对舍去最高位后剩余的7位进行处理即可,首先取反得:1111111,加1得:1 0000000,最高位有进位需丢弃,即得:0000000,加上符号位就得补码:1 0000000。

又如,当编码总位数为4时,真值X=+0.101的原码、反码、补码均为:0 101。

真值X=-0.101的原码、反码、补码依次为:1 101、1 010、1 011。

同理,特例,-1的补码为:1 000。

在定点小数中,小数点隐含在第一位编码和第二位编码之间。

来源:刘智成原创
补码的由来

来源:http://eroshn.javaeye.com/blog/546515

点评:觉得这个讲的非常精彩,阐明了使用补码的基本原理,对于计算机专业的学生来说很合适。感觉这个思想应该是数学专业同学证明的吧- -!他们经常玩证明,这个应该是玩剩下的……

这里探讨一下补码的原理:

通过两个char类型的整数的加减运算(-128~127)的比较来研究补码的原理。

两个数的加减运算分为下面的三种情况:

1.两个非负数相加

1.1 未溢出的情况,例如 30+50=80,运算的二进制算式为    00011110b+00110010b=01010000b

符号位(最高位)未被改变,所以未溢出,换句话说,如果符号位被改变,那么就会溢出(结果为负数)。

符号位何时会被改变呢?在后7位相加产生进位时,也就是说后7位相加的结果超过了127时,产生溢出。

2.一个非负数减另一个非负数

因为绝大部分cpu都没有减法器,只有加法器,所以我们必须要用加法器来实现减法,所以补码出现了。

补码就是对负数进行转换以达到用加法器来实现减法的目的。

我们怎样定义补码呢?让我们来看一个简单的例子。

举例:“50-30”

我们可以用加法来实现“50-30”,即50+(256-30)-256。

我们注意到50+(256-30)-256还是有两个“-”,如何去除呢?

第一步:去除“256-30”当中的“-”,用补码来去除,负数的补码就是正数的原码取反+1,正好是256-30

第二步:去除第二个“-”,因为50+(256-50)=256,所以50+(256-30)>256,所以50+(256-30)肯定会溢出,这个溢出就实现了这个“-”。

为什么不是50+(100-30)-100)?是因为第二步进位正好减去256,第一步也好实现取反+1。

当两个数一正一负时,它们的符号位一个是1,一个是0,那么如上所示如果正数绝对值大,就会产生溢出,结果自然为正。

如果负数绝对值大的话,例如“30-50”,那么30+(256-50)肯定不会溢出,所以结果自然为负。

3.两个负数相加

“-30-50”可以转化为(256-30)+(256-50)-512

两个括号里面的“-”都用去补码来取代,后面的512会自动溢出,如果产生溢出则值为负,否则值为正。

也可以理解为-(30+50),先由两个非负数相加,然后进行补码运算。

所以先哲们利用补码和加法器成功的实现了加减法,省略掉了减法器。

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这里发现一个非科班出身的人关于-128的看法,大家也可以参照一下,不过个人感觉写的有问题……前面位数的0就丢了,怎么能这样呢,所以看起来比较混乱,我想他也是自己凑出来的数吧,个人看法,链接贴上。

http://www.javaeye.com/topic/189555

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补码计算

来源:

http://bbs.tiexue.net/bbs171-0-1.html

http://bbs.tiexue.net/post_3901393_1.html

点评:这篇关于补码模的概念介绍的比较清楚,后面还有证明,应该仔细看看- -!

补码举例

补码(two’s complement)

1、在计算机系统中,数值一律用补码来表示(存储)。

主要原因:使用补码,可以将符号位和其它位统一处理;同时,减法也可按加法来处理。另外,两个用补

码表示的数相加时,如果最高位(符号位)有进位,则进位被舍弃。

2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。

求给定数值的补码表示分以下两种情况:

(1)正数的补码:与原码相同。

[例1]+9的补码是00001001。

(2)负数的补码:符号位为1,其余位为该数绝对值的原码按位取反;然后整个数加1。

[例2]求-7的补码。

因为给定数是负数,则符号位为“1”。

后七位:+7的原码(0000111)→按位取反(1111000)→加1(1111001)

所以-7的补码是11111001。

已知一个数的补码,求原码的操作分两种情况:

(1)如果补码的符号位为“0”,表示是一个正数,其原码就是补码。

(2)如果补码的符号位为“1”,表示是一个负数,那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。

[例3]已知一个补码为11111001,则原码是10000111(-7)。

因为符号位为“1”,表示是一个负数,所以该位不变,仍为“1”。

其余七位1111001取反后为0000110;

再加1,所以是10000111。

在“闲扯原码、反码、补码”文件中,没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模”

的概念:

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器,它也有一个计量范

围,即都存在一个“模”。例如:

时钟的计量范围是0~11,模=12。

表示n位的计算机计量范围是0~2^(n)-1,模=2^(n)。

“模”实质上是计量器产生“溢出”的量,它的值在计量器上表示不出来,计量器上只能表示出模的

余数。任何有模的计量器,均可化减法为加法运算。

例如: 假设当前时针指向10点,而准确时间是6点,调整时间可有以下两种拨法:

一种是倒拨4小时,即:10-4=6

另一种是顺拨8小时:10+8=12+6=6

在以12模的系统中,加8和减4效果是一样的,因此凡是减4运算,都可以用加8来代替。

对“模”而言,8和4互为补数。实际上以12模的系统中,11和1,10和2,9和3,7和5,6和6都有这个特

性。共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机,其概念和方法完全一样。n位计算机,设n=8, 所能表示的最大数是11111111,若再

加1称为100000000(9位),但因只有8位,最高位1自然丢失。又回了00000000,所以8位二进制系统的

模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题,只需把减数用相应的补数表示就可以

了。把补数用到计算机对数的处理上,就是补码。

另外两个概念

一的补码(one’s complement) 指的是正数=原码,负数=反码

而二的补码(two’s complement) 指的就是通常所指的补码。

3.补码的绝对值(称为真值)

[例4]-65的补码是10111111

若直接将10111111转换成十进制,发现结果并不是-65,而是191。

事实上,在计算机内,如果是一个二进制数,其最左边的位是1,则我们可以判定它为负数,并且是用补码表示。

若要得到一个负二进制数的绝对值(称为真值),只要各位(包括符号位)取反,再加1,就得到真值。

如:二进制值:10111111(-65的补码)

各位取反:01000000

加1:01000001(+65的补码)

这里补充补码的代数加减运算:

1、补码加法

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补

[例5]X=+0110011,Y=-0101001,求[X+Y]补

[X]补=00110011 [Y]补=11010111

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010

注:因为计算机中运算器的位长是固定的,上述运算中产生的最高位进位将丢掉,所以结果不是

100001010,而是00001010。

2、补码减法

[X-Y]补 = [X]补 – [Y]补 = [X]补 + [-Y]补

其中[-Y]补称为负补,求负补的方法是:所有位(包括符号位)按位取反;然后整个数加1。

[例6]1+(-1) [十进制]

1的原码00000001 转换成补码:00000001

-1的原码10000001 转换成补码:11111111

1+(-1)=0

00000001+111111111=00000000

00000000转换成十进制为0

0=0所以运算正确。

这里补充补码的代数解释:

任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;

这个假设a为正数,那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法,我们可以把a表示为:a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)

这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0,而且这里设a的二进制位数为n位,即其模为2^(n-1),而 2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2),而式子:-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中,2^(n- 1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n- 1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)两式,2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n- 3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1,所以1-k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反,而为什么要加1,追溯起来就是 2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中,还有-2^(n-1)这项未解释,这项就是补码里首位的1,首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1),这正是n位二进制的模。

不能贴公式,所以看起来很麻烦,如果写成代数式子看起来是很方便的。

注:n位二进制,最高位为符号位,因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位,表示的数值范围为0——2^8-1。

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